Savoir sur quoi parier, c'est la moitié du travail. Savoir combien, c'est l'autre moitié — et c'est celle qu'on néglige. Le critère de Kelly est la réponse mathématique à cette question. Il est vieux de soixante-dix ans et personne n'a trouvé mieux.
La formule
Pour une cote décimale c et une probabilité estimée p :
fraction de bankroll = (p × c − 1) ÷ (c − 1)
Exemple : cote 2,50, vous estimez la probabilité à 45 %.
- p × c = 0,45 × 2,50 = 1,125
- 1,125 − 1 = 0,125
- c − 1 = 1,50
- 0,125 ÷ 1,50 = 8,3 % de la bankroll
Si le résultat est négatif, la mise recommandée est zéro : la cote ne couvre pas votre estimation. Kelly intègre donc la notion de value bet — il ne mise que là où il y a un écart en votre faveur.
Pourquoi personne n'applique le plein Kelly
Le plein Kelly maximise la croissance à long terme, mais au prix d'une volatilité brutale : des séries de pertes de 30 à 50 % de la bankroll font partie du parcours normal. Deux raisons de réduire :
- Votre estimation est fausse. Toujours un peu. Si vous pensez 45 % et que la vérité est 40 %, le plein Kelly vous fait surmiser en permanence.
- Vous n'avez pas les nerfs. Personne ne les a. Un joueur qui voit sa bankroll fondre de moitié change de méthode au pire moment.
D'où le Kelly fractionnaire : un quart ou la moitié de la mise calculée. Dans l'exemple, 2 à 4 % de la bankroll au lieu de 8. On perd un peu de croissance théorique, on gagne beaucoup de stabilité.
Kelly et les unités
Si vous raisonnez en unités, Kelly vous dit combien d'unités : à 1 % l'unité, un quart de Kelly à 8,3 % donne 2 unités. C'est un pari « confiant » — pas un pari « énorme ». La plupart de vos mises devraient tourner autour d'une unité, précisément parce que la plupart des écarts sont petits.
Ce que Kelly ne fait pas
- Il ne vous dit pas si votre probabilité est juste. Il la prend pour argent comptant.
- Il suppose des paris indépendants. Cinq mises le même après-midi sur des matchs corrélés, ce n'est pas cinq Kelly séparés.
- Il ne connaît pas votre tolérance au risque. C'est à vous de choisir la fraction.
Exemple complet
Bankroll fictive : 1 000 €. Cote 1,90, estimation 58 %.
- (0,58 × 1,90 − 1) ÷ 0,90 = (1,102 − 1) ÷ 0,90 = 11,3 %
- Quart de Kelly : 2,8 % → 28 €
Une estimation de 55 % au lieu de 58 fait tomber la fraction à 5,5 % (1,4 % au quart). Trois points de probabilité changent la mise du simple au double. C'est la leçon : la précision de votre estimation compte plus que la formule.
À retenir
Kelly transforme « je le sens bien » en un chiffre. Utilisez-le en fraction, jamais en plein. Et si la formule dit zéro, c'est qu'il n'y a pas de pari à faire — même si le match a l'air passionnant.
Kelly sur une série : ce que ça donne en pratique
Prenons dix paris consécutifs, tous à cote 2,00, sur lesquels vous estimez 55 % de réussite. Kelly plein recommande (0,55 × 2 − 1) ÷ 1 = 10 % de la bankroll par pari ; un quart de Kelly, 2,5 %.
Bankroll fictive de 1 000. Séquence réelle : G P P G G P G G P G (6 gagnés sur 10, conforme à l'estimation).
- Quart de Kelly : la bankroll finit autour de 1 048 — une croissance calme, aucune mise au-dessus de 27.
- Kelly plein : la bankroll finit autour de 1 185, mais elle est passée par 810 après la troisième perte, avec des mises qui ont varié de 81 à 118.
Même résultat sportif, deux expériences très différentes. Le plein Kelly gagne plus à condition de tenir le trajet — et de ne pas s'être trompé de cinq points sur les 55 %.
Le coût d'une estimation fausse
C'est le point que la formule cache. Si votre « 55 % » est en réalité 50 % :
- Espérance réelle par pari : zéro.
- Kelly plein vous fait miser 10 % de la bankroll sur des paris à espérance nulle : la variance seule finit par vous ruiner, sans que vous ayez « eu tort » sur un seul pari.
- Quart de Kelly : même espérance nulle, mais la bankroll s'érode quatre fois plus lentement — assez lentement pour que le bilan écrit vous montre le problème avant qu'il soit fatal.
Kelly fractionnaire n'est donc pas de la timidité : c'est une assurance contre sa propre surestimation, et la surestimation est la règle, pas l'exception. Le palmarès tenu honnêtement est le seul moyen de calibrer ce 55 %.
Kelly et le combiné
Sur un combiné, on applique Kelly à la probabilité et à la cote du ticket entier. Quatre sélections à 60 % de probabilité réelle et 1,50 de cote chacune : probabilité 13 %, cote 5,06, Kelly = (0,13 × 5,06 − 1) ÷ 4,06 = −8 %. Négatif : Kelly dit de ne pas jouer ce combiné, alors que chaque sélection prise seule était jouable. C'est le calcul le plus convaincant contre l'empilement.
Questions fréquentes
Faut-il recalculer la bankroll à chaque pari ? Oui pour être fidèle à Kelly ; en pratique, un recalcul hebdomadaire suffit et évite de sur-réagir aux séries.
Que faire quand Kelly dit 0,3 % ? Ne pas jouer, ou jouer une unité minimale par discipline. Un écart qui ne justifie pas une mise n'est pas un pari.
Kelly marche-t-il au PMU ? Le principe oui, mais la cote n'est connue qu'après la course : on l'applique au rapport probable, avec une fraction encore plus prudente.
